Analisi matematica [capitolo 1]

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Teorema: razionali.
Non esiste alcun numero razionale p/q tale che:

Non esiste alcun numero razionale p/q tale che:
Definizione: numero reale.
Definiamo numero reale unallineamento decimale con segno,

Definiamo numero reale unallineamento decimale con segno, Se l'allineamento è periodicoil numero è razionale. Se l'allineamento non è periodico il numero è irrazionale. Se l'allineamento è periodicoil numero è razionale. Se l'allineamento non è periodico il numero è irrazionale.
Teorema: proprietà dell'ordinamento su R.
  • vale una e una sola delle seguenti relazioni:
vale una e una sola delle seguenti relazioni:

vale una e una sola delle seguenti relazioni:
  • vale una e una sola delle seguenti relazioni:
Teorema: di densità.
Tra due numeri reali esistono infiniti numeri razionali e infiniti numeri irrazionali
Definizione: massimo e minimo.
Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni se Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni e Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni per ogni Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni

Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni se Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni e Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni per ogni Un numero reale si dice massimo di un sottoinsieme se e per ogni Un numero reale m si dice minimo di un sottoinsieme se e per ogni
Teorema: di completezza.
Se A è un insieme limitato superiormente, l'insieme del maggioranti di A ha massimo. Se A è un insieme limitato inferiormente, l'insieme dei minoranti di A ha minimo.
Definizione: estremo superiore e inferiore.
Se A è limitato superiormente, definiamo estremo superiore di A il minimo dei maggioranti di A. Se A è limitato inferiormente, definiamo estremo inferiore di A il massimo dei maggioranti di A. Per l'estremo superiore e inferiore usiamo le notazioni supA, inf A.
Teorema: elemento separatore di R.
Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che Allora esiste un unimo numero reale y tale: Inoltre, o y è il massimo di A, o y è il minimo di B. Allora esiste un unimo numero reale y tale: Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che Allora esiste un unimo numero reale y tale: Inoltre, o y è il massimo di A, o y è il minimo di B. Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che Allora esiste un unimo numero reale y tale: Inoltre, o y è il massimo di A, o y è il minimo di B. Siano A e B due insiemi non vuoti e separati di numeri reali tali che Allora esiste un unimo numero reale y tale: Inoltre, o y è il massimo di A, o y è il minimo di B.
Inoltre, o y è il massimo di A, o y è il minimo di B.
Teoerma: archimedeo.
Per ogni Per ogni e positivi esiste un intero n > 0 tale che n >. e Per ogni e positivi esiste un intero n > 0 tale che n >. positivi esiste un intero n > 0 tale che nPer ogni e positivi esiste un intero n > 0 tale che n >. >Per ogni e positivi esiste un intero n > 0 tale che n >..
Lemma: disuguaglianza fondamentale.
Assegnati un intero Assegnati un intero e un numero reale si ha. e un numero reale Assegnati un intero e un numero reale si ha. si ha
Assegnati un intero e un numero reale si ha..
Teorema: radice n-esima.
Fissato un intero Fissato un intero e un numero reale , esiste uno ed un solo reale tale che . e un numero reale Fissato un intero e un numero reale , esiste uno ed un solo reale tale che . , esiste uno ed un solo reale Fissato un intero e un numero reale , esiste uno ed un solo reale tale che . tale che Fissato un intero e un numero reale , esiste uno ed un solo reale tale che . .
Definizione: radice n-esima.
Il numero Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione che soddisfa Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione si chiama radice n-esima di Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione e si indica con il simbolo Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione
IL numero Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione Il numero che soddisfa si chiama radice n-esima di e si indica con il simbolo IL numero si chiama radicando e n si chiama indice della radice. Si usa anche la notazione
Definizione: potenze a esponente razionale.
SIa m è un intero relativo, sia SIa m è un intero relativo, sia un intero e sia . Si pone . un intero e sia SIa m è un intero relativo, sia un intero e sia . Si pone . . Si pone SIa m è un intero relativo, sia un intero e sia . Si pone . .
Definizione: potenze a esponente reale.
Sia Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. e Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale.. Poniamo Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale.

Se Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. e Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. poniamoSia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale.

Se Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. e Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. poniamo Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale.
Infine poniamo Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. In tal modo la potenza Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale.risulta definita per ogni Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. e Sia e . Poniamo Se e poniamoSe e poniamo Infine poniamo In tal modo la potenza risulta definita per ogni e reale. reale.
Teorema: logaritmo.
Sia Sia e , . Esiste uno e un solo numero reale x tale che . e Sia e , . Esiste uno e un solo numero reale x tale che ., Sia e , . Esiste uno e un solo numero reale x tale che . . Esiste uno e un solo numero reale x tale che Sia e , . Esiste uno e un solo numero reale x tale che . .