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RAZONAMIENTO ALGEBRAICOExpresiones algebraicas - álgebra. La principal función del álgebra es resolver problemas con una o dos cantidades numéricas desconocidas que no podemos resolver mentalmente.
- Se emplean tres tipos de signos:
- De operación: +, -, /, .
- De relación: =, >, <
- De agrupación: ( )
- pág. 43
- SUMA.
- RESTA.
- MULTIPLICACIóN o PRODUCTO.
- Doble (2x), Triple (3x), Cuádruple (4x), Quíntuple (5x), Séxtuple (6x),...
- DIVISIóN, RAZóN o COCIENTE.
- Mitad (x/2), Tercera parte (x/3), Cuarta parte (x/4), Quinta parte (x/5),...
Término algebraico. Unidad más simple de la cual se componen las expresiones algebraicas.Un término algebraico representa el producto o cociente de un número con signo (coeficiente) con una(s) letra(s) (literal) elevada a alguna potencia (exponente)Importante:- Si el signo del primer término es positivo NO SE PONE.
- Si el coeficiente o el exponente es 1 NO SE PONE.
En una expresión algebraica los términos están separados por los signos de (+ o -) dependiendo del número de términos y su grado.
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Las expresiones algebraicas se denominan:- Grado Absoluto. El grado absoluto de una expresión algebraica es el grado mayor de entre todos los términos. El grado de un término se obtiene sumando los exponentes de las literales.
- Grado Relativo. El grado relativo de una literal es el grado mayor de entre todas de esa literal.
- Pág. 44
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Procesos de simplificación.- SUMA Y RESTA (Adición)
- Lo importante en la adición es simplificar, es decir, encontrar términos que podamos unir para simplificar los que ya tenemos, SOLO con los términos semejantes.
- ¿Qué son los términos semejantes? Tienen las mismas literales (x) con sus respectivos exponentes iguales (xx), sin importar cuál es su coeficiente.
- 2x2y3 SI es semejante a -2/3x2y3
- -3x5y NO es semejante a 2xy5
- Dos o más términos que son semejantes pueden agruparse, es decir, sumarse unos con otros para obtener un sólo término del mismo género.
- Reducción de términos semejantes. Si deseamos agrupar algunos términos semejantes en uno solo, únicamente sumamos los coeficientes de cada término y conservamos las literales con sus respectivos exponentes.
- 9a - 11a = -2a
- 15xy 4 - 6xy 4 = 9xy 4
- 5x3y2 - 12y2x3 + x3y2 = -6y2x3
- Sumar o restar dos o más expresiones algebraicas es agruparlas en una sola bajo los signos de + o -, reducir los términos semejantes de las expresiones hasta obtener una nueva.
- Sumar 7x - 3y + 4z con 4x + 5y +2z
- Agrupamos los términos que son semejantes y los reducimos.
- (7x + 4x) + (-3y + 5y) + (4z + 2z) = 11x + 2y + 6z
- De 8a - 3b + 5c - e restar -2b + c -4e
- Cambiamos de signo la expresión que se está restando.
- 8a - 3b + 5c - e - (- 2b + c - 4e)
- 8a - 3b + 5c - e + 2b -c + 4e
- 8a - b + 4c + 3e
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- MULTIPLICACIóN
- Para multiplicar, tomamos un término de cualquier polinomio y lo multiplicamos por cada uno de los términos del otro polinomio.
- (-5x3y2) (7x2y4z)= (-) (+) Ley de signos. (5) (7) coeficientes se multiplican. (x3) (x2) (y2) (y4) mismas letras se suman exponentes. (z) letras que no se repitan se conservan igual.
- = -35x5y6z
- Para multiplicar polinomios hacemos varias multiplicaciones. Tendremos que multiplicar cada término por cada término y reducimos los términos semejantes.
- Multiplicar 4ax2 por 3x2 - 6x + 7
- Escribimos el producto del monomio por el polinomio: (4ax2) (3x2 - 6x +7)
- Realizamos los productos para obtener el producto final: 12ax4 - 24ax3 + 28 ax2
- Finalmente, reducimos términos semejantes (en caso de haberlos).
- Multiplicar (2x - 3) (2x + 3) = 4x2 + 6x - 6x - 9
- Reducimos términos semejantes y obtenemos 4x2 - 9
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- SIGNOS DE AGRUPACIóN
- Los signos de agrupación indican que se efectuará una operación a más de un término. Los signos de agrupación son (foto) y en caso de haber más de uno, se resuelven de adentro hacia afuera.
- 2 (3x + (2x - 1 - (x + 2)))
- 2 (3x + (2x - 1 - x - 2)
- 2 (3x + 2x - 1 - x - 2)
- 6x + 4x - 2 - 2x - 4
- 8x - 6
- Se multiplica con los signos y luego con el número al inicio. Al final se suman o restan los términos algebraicos.
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- DIVISIóN
- Para poder realizar esta operación dividimos los coeficientes y a continuación dividimos las literales aplicando la ley de los exponentes para la división (se restan exponentes).
- Dividir 6a2b3c entre 3a2b
- 6a2b3c / 3a2b = 2b2c
- Cuando tenemos que dividir dos polinomios se realiza con la caja de división.
- Checar ejercicios en la libreta
- pág. 47
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Productos notables. Multiplicación de binomios especiales. Los productos entre binomios reciben el nombre de productos notables o productos especiales.- Binomio al cuadrado. (a + b)2 = (a + b) (a + b)
- a2 + 2ab + b2
- Al resultado de un binomio al cuadrado se le conoce como Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.).
- Binomio conjugado. (a + b) (a - b)
- a2 - b2
- Al resultado de unos binomios conjugados se le conoce como Diferencia de Cuadrados.
- Binomio con un término común. (a + b) (a + c)
- a2 + a (b + c) + bc
- Al resultado de unos binomios con un término común se le conoce como Trinomio de la forma ax2 + bx + c
- Binomio al cubo. (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b)
- Binomio a la n. (a + b)n
- Triángulo de Pascal. Para encontrar la fórmula de un binomio a potencias mayores a 3 se utiliza el triángulo de pascal.
- Se forma inicialmente con un triángulo de unos. Para hallar los números del siguiente escalón, se suman los dos números pegados y se pone la respuesta en la parte inferior.
- Para encontrar los exponentes de la fórmula, simplemente, la potencia que te pidan se le aplica al primer término y se disminuye en uno para aumentar en uno a la potencia del otro término.
- a2b0 + 2a1b1 + a0b2 (tercer escalón)
- Ejemplo: Halla el tercer término de (2x - 3)4. Observando el triángulo de pascal, el quinto escalón contiene los coeficientes de la fórmula de un binomio a la cuarta y dado que nos interesa encontrar el tercer término, entonces elegimos el tercer número que es un 6.
- a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 6a2b2 = 6 (2x)2 (-3)2 = 6 (4x2) (9)
- Ejemplo pág. 49
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Resolución de ecuaciones y sistema de ecuaciones.- Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, donde las literales que representan los valores desconocidos reciben el nombre de incógnitas y las expresiones de cada lado de la igualdad reciben el nombre de miembros.
- Si cualquier valor que sustituyamos en la incógnita satisface la igualdad entre las expresiones, entonces la ecuación recibe el nombre de idéntica.
- Resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que cumple con la igualdad.
- Grado de una ecuación: Está determinado por el mayor exponente de la(s) incógnita(s).
- Por ejemplo, la ecuación x + 5 = 12 es de primer grado porque el mayor exponente de la x es 1.
- Un ejemplo de ecuación de segundo grado es el siguiente: x2 + 2x = 3
- Sistema de ecuaciones. Si la ecuación tiene dos incógnitas o valores desconocidos, entonces debemos tener dos ecuaciones con las dos incógnitas para poder hallar dichos valores. Este tipo de ecuaciones se conocen como sistemas de ecuaciones.
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Tipo de ecuación- Una incógnita
- Primer grado
- Ax + Bx = C + D
- Letras de un lado y número del otro.
- Segundo grado
- Ax2 + Bx + C = 0
- Igualar a cero
- Se resuelve factorizando o fórmula general.
- Dos o tres incógnitas
- Primer grado
- Ax + By + Cz = D
- Fx + Gy + Hz = I
- Jx + Ky + Lz = M
- Se resuelve con suma y resta, sustitución o igualación.
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Ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas.- Método de suma y resta. Halla los valores de x e y en el sistema de ecuaciones.
- 2x - 7y = -14
- x + 2y = 4
- Primero, escribimos las ecuaciones de modo que los términos semejantes estén alineados verticalmente.
- Después, multiplicamos cada ecuación por el coeficiente de la primera incógnita de la ecuación contraria, cambiando el signo de uno de los coeficientes. Pág. 52
- Reescribimos las ecuaciones que resultan de realizar los productos indicados.
- Reducimos los términos semejantes de ambas ecuaciones de forma vertical, donde obtenemos una ecuación con una incógnita.
- Este valor lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones iniciales y tendremos una ecuación de primer grado.
- Hemos obtenido los valores de las dos incógnitas que satisfacen ambas igualdades.
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Graficar rectas.Para graficar una recta, la manera más eficiente es buscar las intersecciones con los ejes X y Y.- Para graficar la ecuación 2x - 7y = -14 busquemos sus intersecciones con los ejes:
- EJE X (y=0) para encontrar por donde pasa por el eje X se pone en y el valor de cero. Así 2x = -14 y si despejamos x obtenemos x = -7 pasa por el punto P( -7, 0)
- EJE Y (x=0) para encontrar por donde pasa por el eje Y se pone en x el valor de cero. Así -7y= -14 y si despejamos y obtenemos y= -14 / -7 = 2 pasa por el punto P( 0, 2)
- De la misma manera, si buscamos las intersecciones de x + 2y = 4 obtenemos que pasa por el eje X en ( 4, 0) y en el Eje Y igual ( 0, 2).
- Al graficar las dos simultáneamente: Podemos ver que el punto de intersección (0, 2) coincide con la respuesta obtenida con el método de suma y resta.
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Número de soluciones en los sistemas de ecuaciones.- 0 SOLUCIÓN
- Ax + By = C
- Ax + By = D
- 2x + 3y = 5
- 4x + 6y = 8
- Son múltiplo Ax y By, pero no C y D
- 1 SOLUCIÓN
- Ax + By = C
- Dx + Ey = F
- 3x + 5y = 7
- -2x + 8y = 6
- Ninguno es múltiplo entre sí.
- INFINITAS SOLUCIONES
- Ax + By = C
- (Ax + By = C) (D)
- 2x + 3y = 5
- 6x + 9y = 15 * se multiplicó por 3
- Se multiplica por el número que compone el múltiplo de D.
- Todos son múltiplos entre sí.
Pág. 53
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Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.Si la ecuación posee un término cuadrático (de segundo grado), un término lineal (de primer grado) y uno independiente (númerico); recibe el nombre de ecuación cuadrática completa.5x2 = 6 - 13x- Para resolver este tipo de ecuaciones lo primero que se hace es agrupar todos los términos del lado izquierdo ordenándolos dependiendo su exponente y literal, después es igualar la expresión algebraica a cero.
- Procedemos a factorizar la expresión algebraica. * Foto
- Si el producto de dos factores es igual a cero, significa que alguno de los dos es igual a cero, por tanto igualamos cada factor (binomio) a cero, de donde obtenemos dos ecuaciones de primer grado con una incógnita:
- De donde hallamos dos valores de x que satisfacen la igualdad planteada. Denotamos a cada una con los subíndices x1 y x2.
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- Fórmula general
- Los valores de x se hallan sustituyendo de los coeficientes de los términos de la ecuación: a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término independiente.
- Hallemos las soluciones de 2x2 + 7x = 4
- Se agrupan los términos de un lado de la ecuación.
- Donde a = 2, b = 7 y c = -4.
- Sustituimos estos valores en la fórmula general. Pág. 55
- Para obtener los dos valores de x debemos considerar el valor positivo y negativo de la raíz. Pág. 55
- Puesto que la gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola, podemos ver al graficar que la función y = 2x2 + 7x - 4 que las respuestas de la ecuación son las intersecciones de la parábola con el Eje X: (0, 1/2) y (0, -4).
DATO: El número de respuestas (o raíces) de una ecuación cuadrática es el número de veces que su gráfica corte el eje X.- El número de raíces se determina mediante el signo del discriminante.
- Discriminante = b2 - 4ac
- b2 - 4ac = 0 ( 1 raíz)
- b2 - 4ac < 0 ( 0 raíces)
- b2 - 4ac > 0 ( 2 raíces)
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Representaciones gráficas- Función. Una función f(x) o y es una relación entre cualesquiera dos variables, x, y; tal que a cada valor de la primera variable x (independiente), le corresponde un solo valor de la segunda variable y (dependiente).
- Dominio. Será el grupo de todos los valores posibles que pueda tomar la variable x.
- Rango. Será el grupo de todos los valores posibles que pueda tomar la variable y.
Para poder checar si una gráfica es "gráfica de una función" se utiliza el criterio de la línea vertical donde se dice que la gráfica de una función solo debe ser cortada una única vez al trazar donde sea una línea vertical.Para poder checar si una relación es funcional se debe ver que a cada valor de x sólo se le asigne un valor y SOLO UNO de y. Es decir las dos relaciones (1,2) (1,3) NO podrían ser una relación funcional ya que al mismo valor de x = 1 se le asignan dos valores de y ( y = 2, y = 3).Por el contrario, (1,2) (2,2) SÍ son relaciones funcionales ya que a x = 1 le toca el valor y = 2 y a x = 2 le toca el valor y =2 (No importa que la y se haya repetido).
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Tipos de funciones
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